Aplicación del binomio de Newton en la probabilidad de encontrar un electrón en un nivel de energía , un fotón sea transmitido a través del material, la probabilidad de que la partícula se encuentre en una posición específica
Bueno hoy tenemos la etiqueta para el binomio de Newton es: (a + b)^n = Σ C(n, k) a^(n-k) b^k, donde a y b canción los coeficientes del binomio, n es el prototipo, Σ representa la suma desde k = 0 inclusive k = n, y C(n, k) representa el divisor binomial. El divisor binomial se define como C(n, k) = n! / (k! (n-k)!), donde n! representa el factorial de n.
Lo infrecuente de esto es que el binomio de Newton se utiliza comúnmente en la tesis de probabilidad, ora que permite tantear la probabilidad de ganar un determinado miembro de éxitos en una grado de ensayos independientes. Por paradigma, si se garrocha una nota n veces, la probabilidad de ganar k caras puede calcularse utilizando el binomio de Newton.
El binomio de Newton incluso es deteriorado en la geometría para tantear las áreas y volúmenes de formas geométricas complejas. Por paradigma, se puede usar la etiqueta para tantear el espesor de una esfera, que es un paradigma de un binomio subido a la segunda fuerza.
El binomio de Newton incluso ha opuesto aplicaciones en la física, la ingeniería y la economía. Por paradigma, en la física, se puede usar para tantear la probabilidad de que una ápice se encuentre en un determinado recinto en un labrantío gravitatorio, mientras tanto que en la ingeniería, se puede usar para tantear la tolerancia de materiales.
El binomio de Newton es una útil poderosa en matemáticas que ha opuesto una amplia tono de aplicaciones en diferentes campos. Su etiqueta permite tantear la fuerza de un binomio subido a un prototipo n, lo que es decisivo en muchos cálculos matemáticos.
El binomio de Newton es una etiqueta sublime en matemáticas, el cual se utiliza para tantear la fuerza de un binomio subido a un prototipo en n. La etiqueta es utensilio en una amplia escala de aplicaciones matemáticas, desde la probabilidad inclusive la geometría, la física, la ingeniería y la economía. Su provecho y capricho en diferentes campos de la clase y la tecnología han resguardado que el binomio de Newton continúe siendo una útil decisivo en la matemática moderna.
A continuación mis amigos lectores le muestro tres caso de aplicación a nivel de la física:
Ejercicio 1: La probabilidad de que un fotón atraviese un material
Suponga que un haz de fotones incide sobre un material transparente. La probabilidad de que un fotón atraviese el material es dada por la fórmula del binomio de Newton. Suponga que la probabilidad de que un fotón sea transmitido a través del material es de 0.8 y que el haz de fotones consiste en 10 fotones. ¿Cuál es la probabilidad de que 6 de los 10 fotones sean transmitidos a través del material?
Solución:
La probabilidad de que 6 fotones sean transmitidos y 4 sean absorbidos es:
P(6 transmitidos y 4 absorbidos) = C(10, 6) * 0.8^6 * 0.2^4
Donde C(10, 6) es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que 6 fotones pueden ser seleccionados de un total de 10 fotones.
Reemplazando los valores se tiene:
P(6 transmitidos y 4 absorbidos) = 210 * 0.262144 * 0.00016
P(6 transmitidos y 4 absorbidos) = 0.0085
Por lo tanto, la probabilidad de que 6 de los 10 fotones sean transmitidos a través del material es del 0.85%.
Ejercicio 2: La probabilidad de que una partícula se encuentre en un cierto lugar en un campo gravitatorio
Suponga que se tiene una partícula que se encuentra en un campo gravitatorio. La probabilidad de que la partícula se encuentre en una posición específica se puede calcular utilizando la fórmula del binomio de Newton. Suponga que la probabilidad de que la partícula esté en una cierta posición es de 0.7 y que se realizaron 5 mediciones. ¿Cuál es la probabilidad de que la partícula esté en la posición deseada en 4 de las 5 mediciones?
Solución:
La probabilidad de que la partícula esté en la posición deseada en 4 de las 5 mediciones es dada por la fórmula del binomio de Newton:
P(4 mediciones correctas) = C(5, 4) * 0.7^4 * 0.3^1
Donde C(5, 4) es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que se pueden obtener 4 mediciones correctas de un total de 5 mediciones.
Reemplazando los valores se tiene:
P(4 mediciones correctas) = 5 * 0.2401 * 0.3
P(4 mediciones correctas) = 0.0360
Por lo tanto, la probabilidad de que la partícula esté en la posición deseada en 4 de las 5 mediciones es del 3.60%.
Ejercicio 2: La probabilidad de que un electrón esté en un cierto nivel de energía en un átomo
Suponga que se tiene un átomo con un electrón en un cierto nivel de energía. La probabilidad de que el electrón se encuentre en un nivel específico de energía se puede calcular utilizando la fórmula del binomio de Newton. Suponga que la probabilidad de que el electrón esté en un cierto nivel de energía es de 0.6 y que se realizaron 4 mediciones. ¿Cuál es la probabilidad de que el electrón esté en el nivel de energía deseado en al menos 3 de las 4 mediciones?
Solución:
La probabilidad de que el electrón esté en el nivel de energía deseado en al menos 3 de las 4 mediciones se puede calcular como la suma de las probabilidades de obtener 3, 4 o 5 mediciones correctas, es decir:
P(al menos 3 mediciones correctas) = P(3 correctas) + P(4 correctas) + P(5 correctas)
Para calcular cada término se utiliza la fórmula del binomio de Newton, como se muestra a continuación:
P(3 correctas) = C(4, 3) * 0.6^3 * 0.4^1
P(4 correctas) = C(4, 4) * 0.6^4 * 0.4^0
P(5 correctas) = C(4, 5) * 0.6^5 * 0.4^-1
Donde C(n, k) es el coeficiente binomial que representa el número de formas en que se pueden obtener k mediciones correctas de un total de n mediciones.
Reemplazando los valores se tiene:
P(3 correctas) = 4 * 0.216 * 0.4
P(3 correctas) = 0.3456
P(4 correctas) = 1 * 0.1296 * 1
P(4 correctas) = 0.1296
P(5 correctas) = 0 * 0.07776 * 2.5
P(5 correctas) = 0
Por lo tanto, la probabilidad de que el electrón esté en el nivel de energía deseado en al menos 3 de las 4 mediciones es la suma de los términos anteriores:
P(al menos 3 mediciones correctas) = 0.3456 + 0.1296 + 0
P(al menos 3 mediciones correctas) = 0.4752
Por lo tanto, la probabilidad de que el electrón esté en el nivel de energía deseado en al menos 3 de las 4 mediciones es del 47.52%.
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Bibliografía Referencia
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería y Ciencias por C. F. Chan Man Fong y G. Anathanarayanan, 2003.
"Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica por Isaac Newton.
Física newtoniana para bebés" por Chris Ferrie, 2017.
The Principia: The Authoritative Translation and Guide" por I. Bernard Cohen y Anne Whitman, 1999.
